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电磁对偶(S-Duality)与欧姆定律(上)

2017年8月11日20:48 环球解密

    对偶性是物理学定律中一个很审美导向的主题,这两篇文章中我们将讨论能不能使对偶性超脱纯审美的观点,而在计算上有所贡献。

    figure 1: 即便是实验室中常见的小电阻,要从理论出发计算它的电阻值也不是简单的事情。

    理论学家常遇到的问题是,探讨了一千零一个模型后,究竟有什么用?譬如在前几期对偶性的讨论,许多学者们探究了许多不同模型间的等价性,但对于世人,甚至于其他分支的理论物理学家,这些“对偶”的用处并不明显。

    那一个物理理论怎么样算“有用”?笔者相信大多数的学者会同意其中一个关键是能不能计算可量测的物理量。

    在这篇短文,笔者希望讨论在之前介绍的电磁对偶的“可能用途”:[1]计算电导率(也就是电阻率的倒数)。

    进入正文之前,我先复习(或说明)两个小概念,来说服读者这个可能的用处值得探究。

    ﹡什么是电导 / 电阻:

    这个提问意指的是给定一个模型,物理学家们怎么计算电导。庄子曰:“请循其本。”回想在中学实验室中,接通线路后,必须打开电源供应器,才会有电流。简言之,改变电磁场的状态,得到的响应就是电流。要测量电阻时,必须再调整那些电压设定,然后量测电流的改变,才能计算电阻,也就是再度改变电磁场,从电流的改变中可以获得电导或电阻。把这些动作抽象化:拿到一个模型,我们便观察电磁场出现在模型的哪个地方,然后我们改变两次电磁场,从获得的响应可以计算电导。

    figure 2: 从理论的观点,电导基本上是改变两次电磁场后得到的响应,所以画成费曼图,我们就要针对这种有两根光子线的图,那个黑黑的大圆代表所有可能的交互作用情况,底下列出了两个可能性。

    ﹡费曼图:

    回忆探索讲座《没有人懂的量子力学》中,贺培铭教授曾经在投影片上播放费曼图。在不同的问题中,一张费曼图代表的精确意义可能不同,但约略上表示,时空中某两点上物理量的关联程度。以该讲中的量子电动力学为例,高能物理学家们使用费曼图的主要目的是计算当我把两束粒子撞在一起,出现某种剩余物质的机率。而在本文中,费曼图的意义比较接近前两行所概述的统计上的关联函数。如果这样也还太抽象,一言以蔽之,每个符号像是一块乐高积木,将每个符号代表的公式拼凑起来,物理学家可以有效地计算一些物理量。

    倘若波浪线是代表电磁场,为了计算电导,原则上我要把所有有两根波浪线外角的费曼图都加起来。说得容易,但即便是简单的量子电动力学,也包含了无穷无尽,有很多很多圈圈的图。

    施温格、费曼与朝永振一郎当初教大家怎么好好算一个圈圈的图就获颁诺贝尔奖,要把包含无数圈圈的图加总,直至今日我们依旧是无能为力。

    因此从头开始计算电导,是很困难的问题。

    知道难处后,我们回头复习电磁对偶。所谓电磁对偶性指的是,在没有电流和电荷的状况下,将电磁学问题中的电场换成磁场,磁场换成负的电场,整个方程式是不变的,在对偶性的第一篇中我们还提到,电荷的强度从 e 映射为 1/e,彼时我宣称,一个强关联的问题在此映射下变成弱关联的问题。更有趣的是,我们知道 1 的倒数是 1,也就是这个存在一个 e 值,使得对偶的理论跟原理论一模一样。

    但这边我得坦承,这个强弱作用的对应某种程度上是表面的,因为没有电流与电荷,电磁作用的“强度”没什么实验意义。然而,若存在电流与电荷,必须同时在问题中加入“磁荷”与“磁流”,对偶性才会保持。但是磁单极还没被实验所验证,也导致表面上:有对偶时,没交互作用,而有交互作用时,没对偶。

    为了让电磁对偶性超越单纯数学上的操弄,我们必须找到上面论述的漏洞。

    一分钟参透电磁对偶的快速答案是,电磁对偶是三维空间中马克斯威方程式的性质。但我们知道在三维空间中有一些二维的材料,比如说石墨烯这种薄膜,上面有表面的电荷与电流。结合两者:我们在无电荷、电流的三维空间,置入一层薄膜,其上可以有侷限在薄膜上的表面电荷与电流,从而在完整的三维世界电磁方程式具有电磁对偶性,但在薄膜上又具有交互作用,如此一来,电磁对偶便获得一丝可利用的曙光了。

    在下半集中,我们将概略描述如何透过这个性质计算电导。

    [1] 我谨慎地说是“可能用途”,系因为能为一个模型进行计算是一回事,这个模型要贴近现实到可以被实验实现又是另一回事。

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